Ratkaise 5x^2-8x+5=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i=0,8+0,6i$$

$$x=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i=0,8-0,6i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-8x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -8 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-100}}{2\times 5}$$

Lisää 64 lukuun -100.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-36}}{2\times 5}$$

Ota luvun -36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±6i}{2\times 5}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±6i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{8±6i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±6i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 6i.

$$x=\frac{8+6i}{10}$$

Jaa 8+6i luvulla 10.

$$x=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±6i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6i luvusta 8.

$$x=\frac{8-6i}{10}$$

Jaa 8-6i luvulla 10.

$$x=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i x=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-8x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-8x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Jaa -5 luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-1$$

Jaa -\frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{5}. Lisää sitten -\frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-1+\frac{16}{25}$$

Lisää -1 lukuun \frac{16}{25}.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{9}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{3}{5}i x-\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}i$$

Lisää \frac{4}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i x=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$$