Ratkaise 5x^2-8x+3=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx+3. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-8 ab=5\times 3=15$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -8.

$$a=-5 b=-3$$

Kirjoita \left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right) uudelleen muodossa 5x^{2}-8x+3.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Ota 5x tekijäksi ensimmäisessä ja -3 toisessa ryhmässä.

$$5x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-1=0 ja 5x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -8 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

Lisää 64 lukuun -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

Ota luvun 4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 5}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{8±2}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2.

$$x=\frac{10}{10}$$

Jaa 10 luvulla 10.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2 luvusta 8.

$$x=\frac{6}{10}$$

Supista murtoluku \frac{6}{10} luvulla 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-8x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-8x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Jaa -\frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{5}. Lisää sitten -\frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

Lisää -\frac{3}{5} lukuun \frac{16}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

Lisää \frac{4}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$