Ratkaise 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -7 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Lisää 49 lukuun 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{109} luvusta 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Jaa -\frac{7}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{10}. Lisää sitten -\frac{7}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Lisää \frac{3}{5} lukuun \frac{49}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Lisää \frac{7}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$