Ratkaise 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2,410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1,410497317$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -5 ja c luvulla -17 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Lisää 25 lukuun 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

Jaa 5+\sqrt{365} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{365} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

Jaa 5-\sqrt{365} luvulla 10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Lisää 17 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Kun luku -17 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

Vähennä -17 luvusta 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

Jaa -5 luvulla 5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{17}{5} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$