Ratkaise 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -40 ja c luvulla 85 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Korota -40 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Lisää 1600 lukuun -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Ota luvun -100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Luvun -40 vastaluku on 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{40±10i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 40 lukuun 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Jaa 40+10i luvulla 10.

$$x=4+i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{40±10i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10i luvusta 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Jaa 40-10i luvulla 10.

$$x=4-i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4+i x=4-i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Vähennä 85 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Kun luku 85 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Jaa -40 luvulla 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Jaa -85 luvulla 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Lisää -17 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sievennä.

$$x-4=i x-4=-i$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=4+i x=4-i$$