Ratkaise 5x^2-3x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx-2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -10.

$$1,-10 2,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -3.

$$a=-5 b=2$$

Kirjoita \left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right) uudelleen muodossa 5x^{2}-3x-2.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 5x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -3 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Lisää 9 lukuun 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±7}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 7.

$$x=\frac{10}{10}$$

Jaa 10 luvulla 10.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±7}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 3.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{10} luvulla 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$5x^{2}-3x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Jaa -\frac{3}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{10}. Lisää sitten -\frac{3}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Lisää \frac{2}{5} lukuun \frac{9}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Lisää \frac{3}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$