Ratkaise 5x^2-3x=9

$$5 x ^ { 2 } - 3 x = 9$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{21} + 3}{10} \approx 1,674772708$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}\approx -1,074772708$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-3x=9$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-3x-9=9-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-3x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -3 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+180}}{2\times 5}$$

Lisää 9 lukuun 180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{189}}{2\times 5}$$

Ota luvun 189 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{21} luvusta 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{9}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{9}{5}$$

Jaa -\frac{3}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{10}. Lisää sitten -\frac{3}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{9}{5}+\frac{9}{100}$$

Lisää \frac{9}{5} lukuun \frac{9}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{189}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{189}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{189}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{3\sqrt{21}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{3\sqrt{21}}{10}$$

Lisää \frac{3}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$