Ratkaise 5x^2-18x=12

$$5 x ^ { 2 } - 18 x = 12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{5} \approx 4,174868417$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{5}\approx -0,574868417$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-18x=12$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-18x-12=12-12$$

Kun luku 12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-18x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -18 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Korota -18 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -12.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+240}}{2\times 5}$$

Lisää 324 lukuun 240.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{564}}{2\times 5}$$

Ota luvun 564 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{141}}{2\times 5}$$

Luvun -18 vastaluku on 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{141}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{18±2\sqrt{141}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±2\sqrt{141}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 18 lukuun 2\sqrt{141}.

$$x=\frac{2\sqrt{141}+18}{10}$$

Jaa 18+2\sqrt{141} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{18±2\sqrt{141}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{141} luvusta 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{141}}{10}$$

Jaa 18-2\sqrt{141} luvulla 10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{5} x=\frac{9-\sqrt{141}}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-18x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-18x}{5}=\frac{12}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=\frac{12}{5}$$

Jaa -\frac{18}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{5}. Lisää sitten -\frac{9}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{12}{5}+\frac{81}{25}$$

Lisää \frac{12}{5} lukuun \frac{81}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{141}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{141}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{\sqrt{141}}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{\sqrt{141}}{5}$$

Lisää \frac{9}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{5} x=\frac{9-\sqrt{141}}{5}$$