Ratkaise 5x^2-12x-28=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x - 28 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{4 \sqrt{11} + 6}{5} \approx 3,853299832$$

$$x=\frac{6-4\sqrt{11}}{5}\approx -1,453299832$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-12x-28=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -12 ja c luvulla -28 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-28\right)}}{2\times 5}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-28\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-28\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -28.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+560}}{2\times 5}$$

Lisää 144 lukuun 560.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{704}}{2\times 5}$$

Ota luvun 704 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±8\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{12±8\sqrt{11}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±8\sqrt{11}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 8\sqrt{11}.

$$x=\frac{8\sqrt{11}+12}{10}$$

Jaa 12+8\sqrt{11} luvulla 10.

$$x=\frac{4\sqrt{11}+6}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±8\sqrt{11}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{11} luvusta 12.

$$x=\frac{12-8\sqrt{11}}{10}$$

Jaa 12-8\sqrt{11} luvulla 10.

$$x=\frac{6-4\sqrt{11}}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4\sqrt{11}+6}{5} x=\frac{6-4\sqrt{11}}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-28=0$$

Lisää 28 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-12x-28-\left(-28\right)=-\left(-28\right)$$

Kun luku -28 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-28\right)$$

Vähennä -28 luvusta 0.

$$5x^{2}-12x=28$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{28}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{28}{5}$$

Jaa -\frac{12}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{6}{5}. Lisää sitten -\frac{6}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{28}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{6}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{28}{5}+\frac{36}{25}$$

Lisää \frac{28}{5} lukuun \frac{36}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{176}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{176}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{176}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4\sqrt{11}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4\sqrt{11}}{5}$$

Lisää \frac{6}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4\sqrt{11}+6}{5} x=\frac{6-4\sqrt{11}}{5}$$