Ratkaise 5x^2-12x+4=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx+4. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -12.

$$a=-10 b=-2$$

Kirjoita \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right) uudelleen muodossa 5x^{2}-12x+4.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Ota 5x tekijäksi ensimmäisessä ja -2 toisessa ryhmässä.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-2=0 ja 5x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -12 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

Lisää 144 lukuun -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

Ota luvun 64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±8}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 8.

$$x=\frac{20}{10}$$

Jaa 20 luvulla 10.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±8}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8 luvusta 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Supista murtoluku \frac{4}{10} luvulla 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-12x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-12x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Jaa -\frac{12}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{6}{5}. Lisää sitten -\frac{6}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{6}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{36}{25}$$

Lisää -\frac{4}{5} lukuun \frac{36}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{16}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}$$

Lisää \frac{6}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$