Ratkaise 5x^2-10x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 10 x - 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{35}}{5}+1\approx 2,183215957$$

$$x=-\frac{\sqrt{35}}{5}+1\approx -0,183215957$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-10x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -10 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+40}}{2\times 5}$$

Lisää 100 lukuun 40.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{140}}{2\times 5}$$

Ota luvun 140 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{35}}{2\times 5}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{35}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{10±2\sqrt{35}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{35}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2\sqrt{35}.

$$x=\frac{2\sqrt{35}+10}{10}$$

Jaa 10+2\sqrt{35} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{35}}{5}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{35}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{35} luvusta 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{35}}{10}$$

Jaa 10-2\sqrt{35} luvulla 10.

$$x=-\frac{\sqrt{35}}{5}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{35}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{35}}{5}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-10x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$5x^{2}-10x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{2}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{2}{5}$$

Jaa -10 luvulla 5.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{5}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=\frac{2}{5}+1$$

Lisää \frac{2}{5} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{7}{5}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{7}{5}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{5}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{35}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{35}}{5}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{35}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{35}}{5}+1$$