Ratkaise 5x^2=7x-6

$$5 x ^ { 2 } = 7 x - 6$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{10}\approx 0,7+0,842614977i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{10}\approx 0,7-0,842614977i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 7x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-7x=-6$$

Lisää 6 molemmille puolille.

$$5x^{2}-7x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -7 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\times 6}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-120}}{2\times 5}$$

Lisää 49 lukuun -120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-71}}{2\times 5}$$

Ota luvun -71 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{71}i}{2\times 5}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{71}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{71}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{71}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun i\sqrt{71}.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{71}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{71} luvusta 7.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{10} x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 7x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-7x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=-\frac{6}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=-\frac{6}{5}$$

Jaa -\frac{7}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{10}. Lisää sitten -\frac{7}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{49}{100}$$

Lisää -\frac{6}{5} lukuun \frac{49}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{71}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{71}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{71}i}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{71}i}{10}$$

Lisää \frac{7}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{7+\sqrt{71}i}{10} x=\frac{-\sqrt{71}i+7}{10}$$