Ratkaise 5x^2=-9x-6

$$5 x ^ { 2 } = - 9 x - 6$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-9+\sqrt{39}i}{10}\approx -0,9+0,6244998i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-9}{10}\approx -0,9-0,6244998i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 9x molemmille puolille.

$$5x^{2}+9x=-6$$

Lisää 6 molemmille puolille.

$$5x^{2}+9x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 9 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-20\times 6}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 6.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-120}}{2\times 5}$$

Lisää 81 lukuun -120.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-39}}{2\times 5}$$

Ota luvun -39 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{39}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{39}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{39}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{39} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-9}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39}i-9}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 9x molemmille puolille.

$$5x^{2}+9x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+9x}{5}=-\frac{6}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x=-\frac{6}{5}$$

Jaa \frac{9}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{10}. Lisää sitten \frac{9}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\left(\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{81}{100}$$

Lisää -\frac{6}{5} lukuun \frac{81}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39}{100}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{100}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39}i}{10} x+\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39}i}{10}$$

Vähennä \frac{9}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39}i-9}{10}$$