Ratkaise 5x^2+x-7=0

$$5 x ^ { 2 } + x - 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{141} - 1}{10} \approx 1,087434209$$

$$x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}\approx -1,287434209$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 1 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+140}}{2\times 5}$$

Lisää 1 lukuun 140.

$$x=\frac{-1±\sqrt{141}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{141} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10} x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x-7=0$$

Lisää 7 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}+x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kun luku -7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+x=-\left(-7\right)$$

Vähennä -7 luvusta 0.

$$5x^{2}+x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{7}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{7}{5}$$

Jaa \frac{1}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{10}. Lisää sitten \frac{1}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{7}{5}+\frac{1}{100}$$

Lisää \frac{7}{5} lukuun \frac{1}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{141}{100}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Vähennä \frac{1}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10} x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$