Ratkaise 5x^2+8x+7=61

$$5 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 61$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{286} - 4}{5} \approx 2,582306905$$

$$x=\frac{-\sqrt{286}-4}{5}\approx -4,182306905$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+8x+7=61$$

Vähennä 61 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+8x+7-61=61-61$$

Kun luku 61 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+8x+7-61=0$$

Vähennä 61 luvusta 7.

$$5x^{2}+8x-54=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 8 ja c luvulla -54 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-54\right)}}{2\times 5}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-54\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-54\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -54.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+1080}}{2\times 5}$$

Lisää 64 lukuun 1080.

$$x=\frac{-8±\sqrt{1144}}{2\times 5}$$

Ota luvun 1144 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{286}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{286}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{286}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2\sqrt{286}.

$$x=\frac{2\sqrt{286}-8}{10}$$

Jaa -8+2\sqrt{286} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{286}-4}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{286}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{286} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{286}-8}{10}$$

Jaa -8-2\sqrt{286} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{286}-4}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{286}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{286}-4}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x+7=61$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+8x+7-7=61-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+8x=61-7$$

Vähennä 7 luvusta 61.

$$5x^{2}+8x=54$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{54}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{54}{5}$$

Jaa \frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{5}. Lisää sitten \frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{54}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{54}{5}+\frac{16}{25}$$

Lisää \frac{54}{5} lukuun \frac{16}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{286}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{286}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{286}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{286}}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{286}}{5}$$

Vähennä \frac{4}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{286}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{286}-4}{5}$$