Ratkaise 5x^2+8x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}\approx -0,136675042$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}\approx -1,463324958$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 8 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20}}{2\times 5}$$

Lisää 64 lukuun -20.

$$x=\frac{-8±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Ota luvun 44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-8}{10}$$

Jaa -8+2\sqrt{11} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{11} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-8}{10}$$

Jaa -8-2\sqrt{11} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+8x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+8x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Jaa \frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{5}. Lisää sitten \frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{16}{25}$$

Lisää -\frac{1}{5} lukuun \frac{16}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{11}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Vähennä \frac{4}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$