Ratkaise 5x^2+7x=2

$$5 x ^ { 2 } + 7 x = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{10}\approx 0,243398113$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}\approx -1,643398113$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+7x=2$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+7x-2=2-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+7x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 7 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+40}}{2\times 5}$$

Lisää 49 lukuun 40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{89}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{89} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{10} x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+7x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=\frac{2}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=\frac{2}{5}$$

Jaa \frac{7}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{10}. Lisää sitten \frac{7}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{2}{5}+\frac{49}{100}$$

Lisää \frac{2}{5} lukuun \frac{49}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{89}{100}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{89}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{100}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{89}}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{89}}{10}$$

Vähennä \frac{7}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{10} x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}$$