Ratkaise 5x^2+6x-1=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}\approx 0,148331477$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}\approx -1,348331477$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+6x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 6 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+20}}{2\times 5}$$

Lisää 36 lukuun 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{56}}{2\times 5}$$

Ota luvun 56 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}-6}{10}$$

Jaa -6+2\sqrt{14} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{14}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{14} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-6}{10}$$

Jaa -6-2\sqrt{14} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}+6x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+6x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$5x^{2}+6x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{1}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{1}{5}$$

Jaa \frac{6}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{5}. Lisää sitten \frac{3}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

Lisää \frac{1}{5} lukuun \frac{9}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{14}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{14}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{14}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{14}}{5}$$

Vähennä \frac{3}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{14}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{14}-3}{5}$$