Ratkaise 5x^2+6x+2=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i=-0,6+0,2i$$

$$x=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i=-0,6-0,2i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+6x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 6 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 2}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-40}}{2\times 5}$$

Lisää 36 lukuun -40.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-4}}{2\times 5}$$

Ota luvun -4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-6±2i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2i.

$$x=\frac{-6+2i}{10}$$

Jaa -6+2i luvulla 10.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i luvusta -6.

$$x=\frac{-6-2i}{10}$$

Jaa -6-2i luvulla 10.

$$x=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i x=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+6x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+6x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{2}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Jaa \frac{6}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{5}. Lisää sitten \frac{3}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{2}{5}+\frac{9}{25}$$

Lisää -\frac{2}{5} lukuun \frac{9}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{1}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{1}{5}i x+\frac{3}{5}=-\frac{1}{5}i$$

Vähennä \frac{3}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i x=-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i$$