Ratkaise 5x^2+4x-5=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{29}-2}{5}\approx 0,677032961$$

$$x=\frac{-\sqrt{29}-2}{5}\approx -1,477032961$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+4x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 4 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+100}}{2\times 5}$$

Lisää 16 lukuun 100.

$$x=\frac{-4±\sqrt{116}}{2\times 5}$$

Ota luvun 116 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{29}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{29}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{29}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{29}.

$$x=\frac{2\sqrt{29}-4}{10}$$

Jaa -4+2\sqrt{29} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{29}-2}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{29}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{29} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{29}-4}{10}$$

Jaa -4-2\sqrt{29} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{29}-2}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{29}-2}{5} x=\frac{-\sqrt{29}-2}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}+4x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+4x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$5x^{2}+4x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=\frac{5}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=\frac{5}{5}$$

Jaa 5 luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Jaa \frac{4}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{5}. Lisää sitten \frac{2}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=1+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=1+\frac{4}{25}$$

Lisää 1 lukuun \frac{4}{25}.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{29}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{29}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{29}}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{29}}{5}$$

Vähennä \frac{2}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{29}-2}{5} x=\frac{-\sqrt{29}-2}{5}$$