Ratkaise 5x^2+36x+45=0

$$5 x ^ { 2 } + 36 x + 45 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{3\sqrt{11}-18}{5}\approx -1,610025126$$

$$x=\frac{-3\sqrt{11}-18}{5}\approx -5,589974874$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+36x+45=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 36 ja c luvulla 45 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 5\times 45}}{2\times 5}$$

Korota 36 neliöön.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 5\times 45}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-20\times 45}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 45.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-900}}{2\times 5}$$

Lisää 1296 lukuun -900.

$$x=\frac{-36±\sqrt{396}}{2\times 5}$$

Ota luvun 396 neliöjuuri.

$$x=\frac{-36±6\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-36±6\sqrt{11}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-36±6\sqrt{11}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -36 lukuun 6\sqrt{11}.

$$x=\frac{6\sqrt{11}-36}{10}$$

Jaa -36+6\sqrt{11} luvulla 10.

$$x=\frac{3\sqrt{11}-18}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-36±6\sqrt{11}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{11} luvusta -36.

$$x=\frac{-6\sqrt{11}-36}{10}$$

Jaa -36-6\sqrt{11} luvulla 10.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}-18}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{11}-18}{5} x=\frac{-3\sqrt{11}-18}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+36x+45=0$$

Vähennä 45 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+36x+45-45=-45$$

Kun luku 45 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+36x=-45$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+36x}{5}=-\frac{45}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x=-\frac{45}{5}$$

Jaa -45 luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x=-9$$

Jaa \frac{36}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{18}{5}. Lisää sitten \frac{18}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}=-9+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{18}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25}=-9+\frac{324}{25}$$

Lisää -9 lukuun \frac{324}{25}.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25}=\frac{99}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18}{5}\right)^{2}=\frac{99}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{99}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{18}{5}=\frac{3\sqrt{11}}{5} x+\frac{18}{5}=-\frac{3\sqrt{11}}{5}$$

Vähennä \frac{18}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{3\sqrt{11}-18}{5} x=\frac{-3\sqrt{11}-18}{5}$$