Ratkaise 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 3 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Lisää 9 lukuun -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Ota luvun -11 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{11} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Jaa \frac{3}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{10}. Lisää sitten \frac{3}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Lisää -\frac{1}{5} lukuun \frac{9}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Vähennä \frac{3}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$