Ratkaise 5x^2+25x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 25 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{545}}{10}-\frac{5}{2}\approx -0,165476494$$

$$x=-\frac{\sqrt{545}}{10}-\frac{5}{2}\approx -4,834523506$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+25x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 25 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Korota 25 neliöön.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-20\times 4}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 4.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-80}}{2\times 5}$$

Lisää 625 lukuun -80.

$$x=\frac{-25±\sqrt{545}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-25±\sqrt{545}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-25±\sqrt{545}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -25 lukuun \sqrt{545}.

$$x=\frac{\sqrt{545}-25}{10}$$

Jaa -25+\sqrt{545} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{545}}{10}-\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-25±\sqrt{545}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{545} luvusta -25.

$$x=\frac{-\sqrt{545}-25}{10}$$

Jaa -25-\sqrt{545} luvulla 10.

$$x=-\frac{\sqrt{545}}{10}-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{545}}{10}-\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{545}}{10}-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+25x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+25x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+25x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+25x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{25}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Jaa 25 luvulla 5.

$$x^{2}+5x=-\frac{4}{5}$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{4}{5}+\frac{25}{4}$$

Lisää -\frac{4}{5} lukuun \frac{25}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{109}{20}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{109}{20}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{20}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{545}}{10} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{545}}{10}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{545}}{10}-\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{545}}{10}-\frac{5}{2}$$