Ratkaise 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx+4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 21.

$$a=1 b=20$$

Kirjoita \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right) uudelleen muodossa 5x^{2}+21x+4.

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Jaa yleinen termi 5x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 5x+1=0 ja x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 21 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Korota 21 neliöön.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Lisää 441 lukuun -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Ota luvun 361 neliöjuuri.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-21±19}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -21 lukuun 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{10} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-21±19}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 19 luvusta -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Jaa -40 luvulla 10.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Jaa \frac{21}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{21}{10}. Lisää sitten \frac{21}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Korota \frac{21}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Lisää -\frac{4}{5} lukuun \frac{441}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Jaa x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Vähennä \frac{21}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$