Ratkaise 5x^2+2x+8=0

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0,2+1,2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0,2-1,2489996i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 2 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

Lisää 4 lukuun -160.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

Ota luvun -156 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

Jaa -2+2i\sqrt{39} luvulla 10.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{39} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

Jaa -2-2i\sqrt{39} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+2x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Jaa \frac{2}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{5}. Lisää sitten \frac{1}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

Lisää -\frac{8}{5} lukuun \frac{1}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

Vähennä \frac{1}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$