Ratkaise 5x^2+18x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 18 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}\approx -0,056440423$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}\approx -3,543559577$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 18 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Korota 18 neliöön.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-20}}{2\times 5}$$

Lisää 324 lukuun -20.

$$x=\frac{-18±\sqrt{304}}{2\times 5}$$

Ota luvun 304 neliöjuuri.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 4\sqrt{19}.

$$x=\frac{4\sqrt{19}-18}{10}$$

Jaa -18+4\sqrt{19} luvulla 10.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{19} luvusta -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}-18}{10}$$

Jaa -18-4\sqrt{19} luvulla 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+18x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+18x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+18x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Jaa \frac{18}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{5}. Lisää sitten \frac{9}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{81}{25}$$

Lisää -\frac{1}{5} lukuun \frac{81}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{76}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{76}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{76}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{5}=\frac{2\sqrt{19}}{5} x+\frac{9}{5}=-\frac{2\sqrt{19}}{5}$$

Vähennä \frac{9}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$