Ratkaise 5m^2-14m-15=0

$$5 m ^ { 2 } - 14 m - 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan m suhteen

$$m = \frac{2 \sqrt{31} + 7}{5} \approx 3,627105745$$

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}\approx -0,827105745$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -14 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Korota -14 neliöön.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -15.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+300}}{2\times 5}$$

Lisää 196 lukuun 300.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{496}}{2\times 5}$$

Ota luvun 496 neliöjuuri.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 4\sqrt{31}.

$$m=\frac{4\sqrt{31}+14}{10}$$

Jaa 14+4\sqrt{31} luvulla 10.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{31} luvusta 14.

$$m=\frac{14-4\sqrt{31}}{10}$$

Jaa 14-4\sqrt{31} luvulla 10.

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5m^{2}-14m-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5m^{2}-14m=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$5m^{2}-14m=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5m^{2}-14m}{5}=\frac{15}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=\frac{15}{5}$$

Jaa 15 luvulla 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=3$$

Jaa -\frac{14}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{5}. Lisää sitten -\frac{7}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=3+\frac{49}{25}$$

Lisää 3 lukuun \frac{49}{25}.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=\frac{124}{25}$$

Jaa m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{124}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{25}}$$

Sievennä.

$$m-\frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{31}}{5} m-\frac{7}{5}=-\frac{2\sqrt{31}}{5}$$

Lisää \frac{7}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$