Ratkaise 5a^2-a-5a+1=12a^2-5a-6a

$$5 a ^ { 2 } - a - 5 a + 1 = 12 a ^ { 2 } - 5 a - 6 a$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=\frac{\sqrt{53}+5}{14}\approx 0,877150706$$

$$a=\frac{5-\sqrt{53}}{14}\approx -0,162864992$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä -6a yhdistämällä -a ja -5a.

$$5a^{2}-6a+1=12a^{2}-5a-6a$$

Selvitä -11a yhdistämällä -5a ja -6a.

$$5a^{2}-6a+1=12a^{2}-11a$$

Vähennä 12a^{2} molemmilta puolilta.

$$5a^{2}-6a+1-12a^{2}=-11a$$

Selvitä -7a^{2} yhdistämällä 5a^{2} ja -12a^{2}.

$$-7a^{2}-6a+1=-11a$$

Lisää 11a molemmille puolille.

$$-7a^{2}-6a+1+11a=0$$

Selvitä 5a yhdistämällä -6a ja 11a.

$$-7a^{2}+5a+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -7, b luvulla 5 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Korota 5 neliöön.

$$a=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro -4 ja -7.

$$a=\frac{-5±\sqrt{25+28}}{2\left(-7\right)}$$

Lisää 25 lukuun 28.

$$a=\frac{-5±\sqrt{53}}{2\left(-7\right)}$$

Kerro 2 ja -7.

$$a=\frac{-5±\sqrt{53}}{-14}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-5±\sqrt{53}}{-14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{53}.

$$a=\frac{\sqrt{53}-5}{-14}$$

Jaa -5+\sqrt{53} luvulla -14.

$$a=\frac{5-\sqrt{53}}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-5±\sqrt{53}}{-14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{53} luvusta -5.

$$a=\frac{-\sqrt{53}-5}{-14}$$

Jaa -5-\sqrt{53} luvulla -14.

$$a=\frac{\sqrt{53}+5}{14}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{5-\sqrt{53}}{14} a=\frac{\sqrt{53}+5}{14}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä -6a yhdistämällä -a ja -5a.

$$5a^{2}-6a+1=12a^{2}-5a-6a$$

Selvitä -11a yhdistämällä -5a ja -6a.

$$5a^{2}-6a+1=12a^{2}-11a$$

Vähennä 12a^{2} molemmilta puolilta.

$$5a^{2}-6a+1-12a^{2}=-11a$$

Selvitä -7a^{2} yhdistämällä 5a^{2} ja -12a^{2}.

$$-7a^{2}-6a+1=-11a$$

Lisää 11a molemmille puolille.

$$-7a^{2}-6a+1+11a=0$$

Selvitä 5a yhdistämällä -6a ja 11a.

$$-7a^{2}+5a+1=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-7a^{2}+5a=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -7.

$$\frac{-7a^{2}+5a}{-7}=-\frac{1}{-7}$$

Jakaminen luvulla -7 kumoaa kertomisen luvulla -7.

$$a^{2}+\frac{5}{-7}a=-\frac{1}{-7}$$

Jaa 5 luvulla -7.

$$a^{2}-\frac{5}{7}a=-\frac{1}{-7}$$

Jaa -1 luvulla -7.

$$a^{2}-\frac{5}{7}a=\frac{1}{7}$$

Jaa -\frac{5}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{14}. Lisää sitten -\frac{5}{14}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-\frac{5}{7}a+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{14} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$a^{2}-\frac{5}{7}a+\frac{25}{196}=\frac{1}{7}+\frac{25}{196}$$

Lisää \frac{1}{7} lukuun \frac{25}{196} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$a^{2}-\frac{5}{7}a+\frac{25}{196}=\frac{53}{196}$$

Jaa a^{2}-\frac{5}{7}a+\frac{25}{196} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{53}{196}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{196}}$$

Sievennä.

$$a-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{53}}{14} a-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{53}}{14}$$

Lisää \frac{5}{14} yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=\frac{\sqrt{53}+5}{14} a=\frac{5-\sqrt{53}}{14}$$