Ratkaise 5-6x-x^2=0

$$5 - 6 x - x ^ { 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{14}-3\approx 0,741657387$$

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right)\approx -6,741657387$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-6x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -6 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+20}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 36 lukuun 20.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{56}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 56 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+6}{-2}$$

Jaa 6+2\sqrt{14} luvulla -2.

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right)$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{14} luvusta 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{14}}{-2}$$

Jaa 6-2\sqrt{14} luvulla -2.

$$x=\sqrt{14}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right) x=\sqrt{14}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-6x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}-6x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-6x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-6x}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{-1}\right)x=-\frac{5}{-1}$$

Jaa -6 luvulla -1.

$$x^{2}+6x=-\frac{5}{-1}$$

Jaa -5 luvulla -1.

$$x^{2}+6x=5$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=5+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=5+9$$

Lisää 5 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=14$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=14$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Sievennä.

$$x+3=\sqrt{14} x+3=-\sqrt{14}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{14}-3 x=-\sqrt{14}-3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{14}-3\approx 0,741657387$$

$$x=-\sqrt{14}-3\approx -6,741657387$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-6x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -6 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+20}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 36 lukuun 20.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{56}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 56 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+6}{-2}$$

Jaa 6+2\sqrt{14} luvulla -2.

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right)$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{14}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{14} luvusta 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{14}}{-2}$$

Jaa 6-2\sqrt{14} luvulla -2.

$$x=\sqrt{14}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\left(\sqrt{14}+3\right) x=\sqrt{14}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-6x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}-6x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-6x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-6x}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{-1}\right)x=-\frac{5}{-1}$$

Jaa -6 luvulla -1.

$$x^{2}+6x=-\frac{5}{-1}$$

Jaa -5 luvulla -1.

$$x^{2}+6x=5$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=5+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=5+9$$

Lisää 5 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=14$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=14$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Sievennä.

$$x+3=\sqrt{14} x+3=-\sqrt{14}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{14}-3 x=-\sqrt{14}-3$$