Ratkaise 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -90 ja c luvulla 54 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Korota -90 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Lisää 8100 lukuun -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Ota luvun 7020 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Luvun -90 vastaluku on 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 90 lukuun 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Jaa 90+6\sqrt{195} luvulla 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{195} luvusta 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Jaa 90-6\sqrt{195} luvulla 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Vähennä 54 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Kun luku 54 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Jaa -90 luvulla 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Jaa -18 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -9. Lisää sitten -9:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Korota -9 neliöön.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Lisää -\frac{54}{5} lukuun 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Jaa y^{2}-18y+81 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Sievennä.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$