Ratkaise 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx-2184. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -1.

$$a=-105 b=104$$

Kirjoita \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right) uudelleen muodossa 5x^{2}-x-2184.

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 104.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Jaa yleinen termi x-21 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-21=0 ja 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -1 ja c luvulla -2184 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Lisää 1 lukuun 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Ota luvun 43681 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±209}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Jaa 210 luvulla 10.

$$x=21$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±209}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 209 luvusta 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-208}{10} luvulla 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Lisää 2184 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Kun luku -2184 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Vähennä -2184 luvusta 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Jaa -\frac{1}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{10}. Lisää sitten -\frac{1}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Lisää \frac{2184}{5} lukuun \frac{1}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Lisää \frac{1}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$