Ratkaise 5x^2-8x(2+14x)=108-x

$$5 { x }^{ 2 } -8x(2+14x)=108-x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}\approx -0,070093458-1,0022139i$$

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}\approx -0,070093458+1,0022139i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 108 molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108=-x$$

Lisää x molemmille puolille.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108+x=0$$

Laske lukujen -8x ja 2+14x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}-108+x=0$$

Selvitä -107x^{2} yhdistämällä 5x^{2} ja -112x^{2}.

$$-107x^{2}-16x-108+x=0$$

Selvitä -15x yhdistämällä -16x ja x.

$$-107x^{2}-15x-108=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -107, b luvulla -15 ja c luvulla -108 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Kerro -4 ja -107.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+428\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Kerro 428 ja -108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-46224}}{2\left(-107\right)}$$

Lisää 225 lukuun -46224.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-45999}}{2\left(-107\right)}$$

Ota luvun -45999 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Kerro 2 ja -107.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun 3i\sqrt{5111}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Jaa 15+3i\sqrt{5111} luvulla -214.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{5111} luvusta 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i+15}{-214}$$

Jaa 15-3i\sqrt{5111} luvulla -214.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214} x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää x molemmille puolille.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)+x=108$$

Laske lukujen -8x ja 2+14x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}+x=108$$

Selvitä -107x^{2} yhdistämällä 5x^{2} ja -112x^{2}.

$$-107x^{2}-16x+x=108$$

Selvitä -15x yhdistämällä -16x ja x.

$$-107x^{2}-15x=108$$

Jaa molemmat puolet luvulla -107.

$$\frac{-107x^{2}-15x}{-107}=\frac{108}{-107}$$

Jakaminen luvulla -107 kumoaa kertomisen luvulla -107.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-107}\right)x=\frac{108}{-107}$$

Jaa -15 luvulla -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=\frac{108}{-107}$$

Jaa 108 luvulla -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=-\frac{108}{107}$$

Jaa \frac{15}{107} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{15}{214}. Lisää sitten \frac{15}{214}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{108}{107}+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}$$

Korota \frac{15}{214} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{108}{107}+\frac{225}{45796}$$

Lisää -\frac{108}{107} lukuun \frac{225}{45796} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{45999}{45796}$$

Jaa x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{45999}{45796}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{45999}{45796}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{15}{214}=\frac{3\sqrt{5111}i}{214} x+\frac{15}{214}=-\frac{3\sqrt{5111}i}{214}$$

Vähennä \frac{15}{214} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214} x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$