Ratkaise 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0,4+0,916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0,4-0,916515139i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -4 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Lisää 16 lukuun -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Ota luvun -84 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

Jaa 4+2i\sqrt{21} luvulla 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{21} luvusta 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

Jaa 4-2i\sqrt{21} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Jaa -5 luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Jaa -\frac{4}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{5}. Lisää sitten -\frac{2}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Lisää -1 lukuun \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Lisää \frac{2}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$