Ratkaise 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9,163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0,436515154$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -48 ja c luvulla 20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Korota -48 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

Lisää 2304 lukuun -400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

Ota luvun 1904 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Luvun -48 vastaluku on 48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 48 lukuun 4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

Jaa 48+4\sqrt{119} luvulla 10.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{119} luvusta 48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

Jaa 48-4\sqrt{119} luvulla 10.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

Kun luku 20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-48x=-20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

Jaa -20 luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

Jaa -\frac{48}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{24}{5}. Lisää sitten -\frac{24}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{24}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

Lisää -4 lukuun \frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

Lisää \frac{24}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$