Ratkaise 5x^2-43x-125=7x

$$5 { x }^{ 2 } -43x-125=7x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5\sqrt{2}+5\approx 12,071067812$$

$$x=5-5\sqrt{2}\approx -2,071067812$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 7x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-43x-125-7x=0$$

Selvitä -50x yhdistämällä -43x ja -7x.

$$5x^{2}-50x-125=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -50 ja c luvulla -125 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\times 5\left(-125\right)}}{2\times 5}$$

Korota -50 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\times 5\left(-125\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-20\left(-125\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -125.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+2500}}{2\times 5}$$

Lisää 2500 lukuun 2500.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{5000}}{2\times 5}$$

Ota luvun 5000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±50\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Luvun -50 vastaluku on 50.

$$x=\frac{50±50\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{50±50\sqrt{2}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{50±50\sqrt{2}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 50 lukuun 50\sqrt{2}.

$$x=\frac{50\sqrt{2}+50}{10}$$

Jaa 50+50\sqrt{2} luvulla 10.

$$x=5\sqrt{2}+5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{50±50\sqrt{2}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 50\sqrt{2} luvusta 50.

$$x=\frac{50-50\sqrt{2}}{10}$$

Jaa 50-50\sqrt{2} luvulla 10.

$$x=5-5\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5\sqrt{2}+5 x=5-5\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 7x molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-43x-125-7x=0$$

Selvitä -50x yhdistämällä -43x ja -7x.

$$5x^{2}-50x-125=0$$

Lisää 125 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$5x^{2}-50x=125$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-50x}{5}=\frac{125}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{50}{5}\right)x=\frac{125}{5}$$

Jaa -50 luvulla 5.

$$x^{2}-10x=\frac{125}{5}$$

Jaa 125 luvulla 5.

$$x^{2}-10x=25$$

Jaa -10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -5. Lisää sitten -5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=25+\left(-5\right)^{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x^{2}-10x+25=25+25$$

Lisää 25 lukuun 25.

$$x^{2}-10x+25=50$$

Jaa x^{2}-10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=50$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{50}$$

Sievennä.

$$x-5=5\sqrt{2} x-5=-5\sqrt{2}$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5\sqrt{2}+5 x=5-5\sqrt{2}$$