Ratkaise 5x^2-32x=48

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7,65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1,25421149$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-32x=48$$

Vähennä 48 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

Kun luku 48 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -32 ja c luvulla -48 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Korota -32 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

Lisää 1024 lukuun 960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

Ota luvun 1984 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Luvun -32 vastaluku on 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 32 lukuun 8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

Jaa 32+8\sqrt{31} luvulla 10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{31} luvusta 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

Jaa 32-8\sqrt{31} luvulla 10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-32x=48$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

Jaa -\frac{32}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{16}{5}. Lisää sitten -\frac{16}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{16}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

Lisää \frac{48}{5} lukuun \frac{256}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

Lisää \frac{16}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$