Ratkaise 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0,2+1,720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0,2-1,720465053i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -2 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Lisää 4 lukuun -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Ota luvun -296 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

Jaa 2+2i\sqrt{74} luvulla 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{74} luvusta 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

Jaa 2-2i\sqrt{74} luvulla 10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

Jaa -15 luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Jaa -\frac{2}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{5}. Lisää sitten -\frac{1}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Lisää -3 lukuun \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Lisää \frac{1}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$