Ratkaise 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx-42. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -29.

$$a=-35 b=6$$

Kirjoita \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right) uudelleen muodossa 5x^{2}-29x-42.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 6.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Jaa yleinen termi x-7 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-7=0 ja 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -29 ja c luvulla -42 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Korota -29 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Lisää 841 lukuun 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Ota luvun 1681 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Luvun -29 vastaluku on 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{29±41}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 29 lukuun 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Jaa 70 luvulla 10.

$$x=7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{29±41}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 41 luvusta 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{10} luvulla 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Lisää 42 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Kun luku -42 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Vähennä -42 luvusta 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Jaa -\frac{29}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{29}{10}. Lisää sitten -\frac{29}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{29}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Lisää \frac{42}{5} lukuun \frac{841}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Lisää \frac{29}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$