Ratkaise 5x^2-25x-12=0

$$5 { x }^{ 2 } -25x-12=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx 5,441088234$$

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx -0,441088234$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -25 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Korota -25 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -12.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+240}}{2\times 5}$$

Lisää 625 lukuun 240.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Luvun -25 vastaluku on 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 25 lukuun \sqrt{865}.

$$x=\frac{\sqrt{865}+25}{10}$$

Jaa 25+\sqrt{865} luvulla 10.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{865} luvusta 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{865}}{10}$$

Jaa 25-\sqrt{865} luvulla 10.

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-25x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Kun luku -12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-25x=-\left(-12\right)$$

Vähennä -12 luvusta 0.

$$5x^{2}-25x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-25x}{5}=\frac{12}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{25}{5}\right)x=\frac{12}{5}$$

Jaa -25 luvulla 5.

$$x^{2}-5x=\frac{12}{5}$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{12}{5}+\frac{25}{4}$$

Lisää \frac{12}{5} lukuun \frac{25}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{173}{20}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{173}{20}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{173}{20}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{865}}{10} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{865}}{10}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$