Ratkaise 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=-3 b=1$$

Kirjoita \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right) uudelleen muodossa x^{2}-2x-3.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Ota x tekijäksi lausekkeessa x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Jaa yleinen termi x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-3=0 ja x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -10 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Lisää 100 lukuun 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Ota luvun 400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±20}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Jaa 30 luvulla 10.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±20}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20 luvusta 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Jaa -10 luvulla 10.

$$x=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Jaa -10 luvulla 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Jaa 15 luvulla 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Lisää 3 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sievennä.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=-1$$