Ratkaise 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Jaa tekijöihin

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 5x^{2}+ax+bx+12. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 23.

$$a=3 b=20$$

Kirjoita \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right) uudelleen muodossa 5x^{2}+23x+12.

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 4 toisessa ryhmässä.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 5x+3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Korota 23 neliöön.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Lisää 529 lukuun -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Ota luvun 289 neliöjuuri.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-23±17}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -23 lukuun 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{10} luvulla 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-23±17}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 17 luvusta -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Jaa -40 luvulla 10.

$$x=-4$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa -\frac{3}{5} kohteella x_{1} ja -4 kohteella x_{2}.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

Lisää \frac{3}{5} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

Supista lausekkeiden 5 ja 5 suurin yhteinen tekijä 5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Laske

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$