Ratkaise 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -15.

$$-1,15 -3,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 2.

$$a=-3 b=5$$

Kirjoita \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right) uudelleen muodossa x^{2}+2x-15.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Jaa yleinen termi x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-3=0 ja x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 10 ja c luvulla -75 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Lisää 100 lukuun 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Ota luvun 1600 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±40}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Jaa 30 luvulla 10.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±40}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40 luvusta -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Jaa -50 luvulla 10.

$$x=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Lisää 75 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Kun luku -75 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

Vähennä -75 luvusta 0.

$$5x^{2}+10x=75$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Jaa 10 luvulla 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Jaa 75 luvulla 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Lisää 15 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sievennä.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=3 x=-5$$