Ratkaise 5x^2+10x-20=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-20=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 10 ja c luvulla -20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -20.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+400}}{2\times 5}$$

Lisää 100 lukuun 400.

$$x=\frac{-10±\sqrt{500}}{2\times 5}$$

Ota luvun 500 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 10\sqrt{5}.

$$x=\frac{10\sqrt{5}-10}{10}$$

Jaa -10+10\sqrt{5} luvulla 10.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{5} luvusta -10.

$$x=\frac{-10\sqrt{5}-10}{10}$$

Jaa -10-10\sqrt{5} luvulla 10.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Lisää 20 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}+10x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Kun luku -20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-20\right)$$

Vähennä -20 luvusta 0.

$$5x^{2}+10x=20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{20}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{20}{5}$$

Jaa 10 luvulla 5.

$$x^{2}+2x=\frac{20}{5}$$

Jaa 20 luvulla 5.

$$x^{2}+2x=4$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Lisää 4 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 10 ja c luvulla -20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -20.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+400}}{2\times 5}$$

Lisää 100 lukuun 400.

$$x=\frac{-10±\sqrt{500}}{2\times 5}$$

Ota luvun 500 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 10\sqrt{5}.

$$x=\frac{10\sqrt{5}-10}{10}$$

Jaa -10+10\sqrt{5} luvulla 10.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±10\sqrt{5}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{5} luvusta -10.

$$x=\frac{-10\sqrt{5}-10}{10}$$

Jaa -10-10\sqrt{5} luvulla 10.

$$x=-\sqrt{5}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-20=0$$

Lisää 20 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x^{2}+10x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Kun luku -20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-20\right)$$

Vähennä -20 luvusta 0.

$$5x^{2}+10x=20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{20}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{20}{5}$$

Jaa 10 luvulla 5.

$$x^{2}+2x=\frac{20}{5}$$

Jaa 20 luvulla 5.

$$x^{2}+2x=4$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Lisää 4 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$