Ratkaise 5divx+5+5x=6

$$5 \div x+5+5x=6$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{11}i}{10}\approx 0,1+0,994987437i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i+1}{10}\approx 0,1-0,994987437i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x.

$$5+x\times 5+5xx=6x$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$5+x\times 5+5x^{2}=6x$$

Vähennä 6x molemmilta puolilta.

$$5+x\times 5+5x^{2}-6x=0$$

Selvitä -x yhdistämällä x\times 5 ja -6x.

$$5-x+5x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -1 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-100}}{2\times 5}$$

Lisää 1 lukuun -100.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-99}}{2\times 5}$$

Ota luvun -99 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±3\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{1±3\sqrt{11}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±3\sqrt{11}i}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 3i\sqrt{11}.

$$x=\frac{1+3\sqrt{11}i}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±3\sqrt{11}i}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{11} luvusta 1.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i+1}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+3\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-3\sqrt{11}i+1}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x.

$$5+x\times 5+5xx=6x$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$5+x\times 5+5x^{2}=6x$$

Vähennä 6x molemmilta puolilta.

$$5+x\times 5+5x^{2}-6x=0$$

Selvitä -x yhdistämällä x\times 5 ja -6x.

$$5-x+5x^{2}=0$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-x+5x^{2}=-5$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Jaa -5 luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=-1$$

Jaa -\frac{1}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{10}. Lisää sitten -\frac{1}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-1+\frac{1}{100}$$

Lisää -1 lukuun \frac{1}{100}.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{99}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{99}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{99}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{3\sqrt{11}i}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{3\sqrt{11}i}{10}$$

Lisää \frac{1}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+3\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-3\sqrt{11}i+1}{10}$$