Ratkaise 5^2+(frac{25sqrt{3}}{4}-2sqrt{3})^2=4^2+(frac{sqrt{3}sqrt{3}}{4}-b)^2

$$5 ^ { 2 } + ( \frac { 25 \sqrt { 3 } } { 4 } - 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } + ( \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { 3 } } { 4 } - b ) ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$b=\frac{3-\sqrt{1011}}{4}\approx -7,199056548$$

$$b = \frac{\sqrt{1011} + 3}{4} \approx 8,699056548$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro \sqrt{3} ja \sqrt{3}, niin saadaan 3.

$$5^{2}+\left(\frac{25\sqrt{3}}{4}-2\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Laske 5 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 25.

$$25+\left(\frac{25\sqrt{3}}{4}-2\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Selvitä \frac{17}{4}\sqrt{3} yhdistämällä \frac{25\sqrt{3}}{4} ja -2\sqrt{3}.

$$25+\left(\frac{17}{4}\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Lavenna \left(\frac{17}{4}\sqrt{3}\right)^{2}.

$$25+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Laske \frac{17}{4} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{289}{16}.

$$25+\frac{289}{16}\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Luvun \sqrt{3} neliö on 3.

$$25+\frac{289}{16}\times 3=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Kerro \frac{289}{16} ja 3, niin saadaan \frac{867}{16}.

$$25+\frac{867}{16}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Selvitä \frac{1267}{16} laskemalla yhteen 25 ja \frac{867}{16}.

$$\frac{1267}{16}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$\frac{1267}{16}=16+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(\frac{3}{4}-b\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{1267}{16}=16+\frac{9}{16}-\frac{3}{2}b+b^{2}$$

Selvitä \frac{265}{16} laskemalla yhteen 16 ja \frac{9}{16}.

$$\frac{1267}{16}=\frac{265}{16}-\frac{3}{2}b+b^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$\frac{265}{16}-\frac{3}{2}b+b^{2}=\frac{1267}{16}$$

Vähennä \frac{1267}{16} molemmilta puolilta.

$$\frac{265}{16}-\frac{3}{2}b+b^{2}-\frac{1267}{16}=0$$

Vähennä \frac{1267}{16} luvusta \frac{265}{16} saadaksesi tuloksen -\frac{501}{8}.

$$-\frac{501}{8}-\frac{3}{2}b+b^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$b^{2}-\frac{3}{2}b-\frac{501}{8}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -\frac{3}{2} ja c luvulla -\frac{501}{8} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{501}{8}\right)}}{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$b=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4\left(-\frac{501}{8}\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -\frac{501}{8}.

$$b=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{501}{2}}}{2}$$

Lisää \frac{9}{4} lukuun \frac{501}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$b=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{1011}{4}}}{2}$$

Ota luvun \frac{1011}{4} neliöjuuri.

$$b=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\frac{\sqrt{1011}}{2}}{2}$$

Luvun -\frac{3}{2} vastaluku on \frac{3}{2}.

$$b=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{1011}}{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{1011}}{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{\sqrt{1011}}{2}.

$$b=\frac{\sqrt{1011}+3}{2\times 2}$$

Jaa \frac{3+\sqrt{1011}}{2} luvulla 2.

$$b=\frac{\sqrt{1011}+3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{1011}}{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{1011}}{2} luvusta \frac{3}{2}.

$$b=\frac{3-\sqrt{1011}}{2\times 2}$$

Jaa \frac{3-\sqrt{1011}}{2} luvulla 2.

$$b=\frac{3-\sqrt{1011}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$b=\frac{\sqrt{1011}+3}{4} b=\frac{3-\sqrt{1011}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro \sqrt{3} ja \sqrt{3}, niin saadaan 3.

$$5^{2}+\left(\frac{25\sqrt{3}}{4}-2\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Laske 5 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 25.

$$25+\left(\frac{25\sqrt{3}}{4}-2\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Selvitä \frac{17}{4}\sqrt{3} yhdistämällä \frac{25\sqrt{3}}{4} ja -2\sqrt{3}.

$$25+\left(\frac{17}{4}\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Lavenna \left(\frac{17}{4}\sqrt{3}\right)^{2}.

$$25+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Laske \frac{17}{4} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{289}{16}.

$$25+\frac{289}{16}\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Luvun \sqrt{3} neliö on 3.

$$25+\frac{289}{16}\times 3=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Kerro \frac{289}{16} ja 3, niin saadaan \frac{867}{16}.

$$25+\frac{867}{16}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Selvitä \frac{1267}{16} laskemalla yhteen 25 ja \frac{867}{16}.

$$\frac{1267}{16}=4^{2}+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Laske 4 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 16.

$$\frac{1267}{16}=16+\left(\frac{3}{4}-b\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(\frac{3}{4}-b\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{1267}{16}=16+\frac{9}{16}-\frac{3}{2}b+b^{2}$$

Selvitä \frac{265}{16} laskemalla yhteen 16 ja \frac{9}{16}.

$$\frac{1267}{16}=\frac{265}{16}-\frac{3}{2}b+b^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$\frac{265}{16}-\frac{3}{2}b+b^{2}=\frac{1267}{16}$$

Vähennä \frac{265}{16} molemmilta puolilta.

$$-\frac{3}{2}b+b^{2}=\frac{1267}{16}-\frac{265}{16}$$

Vähennä \frac{265}{16} luvusta \frac{1267}{16} saadaksesi tuloksen \frac{501}{8}.

$$-\frac{3}{2}b+b^{2}=\frac{501}{8}$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$b^{2}-\frac{3}{2}b=\frac{501}{8}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$b^{2}-\frac{3}{2}b+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{501}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$b^{2}-\frac{3}{2}b+\frac{9}{16}=\frac{501}{8}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{501}{8} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$b^{2}-\frac{3}{2}b+\frac{9}{16}=\frac{1011}{16}$$

Jaa b^{2}-\frac{3}{2}b+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1011}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(b-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1011}{16}}$$

Sievennä.

$$b-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{1011}}{4} b-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{1011}}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$b=\frac{\sqrt{1011}+3}{4} b=\frac{3-\sqrt{1011}}{4}$$