Ratkaise 5=-1/60x^2+139/60x

$$5 = - \frac { 1 } { 60 } x ^ { 2 } + \frac { 139 } { 60 } x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{18121} + 139}{2} \approx 136,807131866$$

$$x = \frac{139 - \sqrt{18121}}{2} \approx 2,192868134$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-\frac{1}{60}x^{2}+\frac{139}{60}x=5$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{60}x^{2}+\frac{139}{60}x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{1}{60}, b luvulla \frac{139}{60} ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{139}{60}±\sqrt{\left(\frac{139}{60}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{60}\right)\left(-5\right)}}{2\left(-\frac{1}{60}\right)}$$

Korota \frac{139}{60} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\frac{139}{60}±\sqrt{\frac{19321}{3600}-4\left(-\frac{1}{60}\right)\left(-5\right)}}{2\left(-\frac{1}{60}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{60}.

$$x=\frac{-\frac{139}{60}±\sqrt{\frac{19321}{3600}+\frac{1}{15}\left(-5\right)}}{2\left(-\frac{1}{60}\right)}$$

Kerro \frac{1}{15} ja -5.

$$x=\frac{-\frac{139}{60}±\sqrt{\frac{19321}{3600}-\frac{1}{3}}}{2\left(-\frac{1}{60}\right)}$$

Lisää \frac{19321}{3600} lukuun -\frac{1}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-\frac{139}{60}±\sqrt{\frac{18121}{3600}}}{2\left(-\frac{1}{60}\right)}$$

Ota luvun \frac{18121}{3600} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\frac{139}{60}±\frac{\sqrt{18121}}{60}}{2\left(-\frac{1}{60}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{60}.

$$x=\frac{-\frac{139}{60}±\frac{\sqrt{18121}}{60}}{-\frac{1}{30}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{139}{60}±\frac{\sqrt{18121}}{60}}{-\frac{1}{30}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{139}{60} lukuun \frac{\sqrt{18121}}{60}.

$$x=\frac{\sqrt{18121}-139}{-\frac{1}{30}\times 60}$$

Jaa \frac{-139+\sqrt{18121}}{60} luvulla -\frac{1}{30} kertomalla \frac{-139+\sqrt{18121}}{60} luvun -\frac{1}{30} käänteisluvulla.

$$x=\frac{139-\sqrt{18121}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-\frac{139}{60}±\frac{\sqrt{18121}}{60}}{-\frac{1}{30}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{18121}}{60} luvusta -\frac{139}{60}.

$$x=\frac{-\sqrt{18121}-139}{-\frac{1}{30}\times 60}$$

Jaa \frac{-139-\sqrt{18121}}{60} luvulla -\frac{1}{30} kertomalla \frac{-139-\sqrt{18121}}{60} luvun -\frac{1}{30} käänteisluvulla.

$$x=\frac{\sqrt{18121}+139}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{139-\sqrt{18121}}{2} x=\frac{\sqrt{18121}+139}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-\frac{1}{60}x^{2}+\frac{139}{60}x=5$$

Kerro molemmat puolet luvulla -60.

$$\frac{-\frac{1}{60}x^{2}+\frac{139}{60}x}{-\frac{1}{60}}=\frac{5}{-\frac{1}{60}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{1}{60} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{1}{60}.

$$x^{2}+\frac{\frac{139}{60}}{-\frac{1}{60}}x=\frac{5}{-\frac{1}{60}}$$

Jaa \frac{139}{60} luvulla -\frac{1}{60} kertomalla \frac{139}{60} luvun -\frac{1}{60} käänteisluvulla.

$$x^{2}-139x=\frac{5}{-\frac{1}{60}}$$

Jaa 5 luvulla -\frac{1}{60} kertomalla 5 luvun -\frac{1}{60} käänteisluvulla.

$$x^{2}-139x=-300$$

Jaa -139 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{139}{2}. Lisää sitten -\frac{139}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-139x+\left(-\frac{139}{2}\right)^{2}=-300+\left(-\frac{139}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{139}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-139x+\frac{19321}{4}=-300+\frac{19321}{4}$$

Lisää -300 lukuun \frac{19321}{4}.

$$x^{2}-139x+\frac{19321}{4}=\frac{18121}{4}$$

Jaa x^{2}-139x+\frac{19321}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{139}{2}\right)^{2}=\frac{18121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{139}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18121}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{139}{2}=\frac{\sqrt{18121}}{2} x-\frac{139}{2}=-\frac{\sqrt{18121}}{2}$$

Lisää \frac{139}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{18121}+139}{2} x=\frac{139-\sqrt{18121}}{2}$$