Ratkaise 4x-3x^2+15=0

$$4x-3 { x }^{ 2 } +15=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -3x^{2}+ax+bx+15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 4.

$$a=9 b=-5$$

Kirjoita \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right) uudelleen muodossa -3x^{2}+4x+15.

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Jaa yleinen termi -x+3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x+3=0 ja 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 4 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 16 lukuun 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±14}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{10}{-6} luvulla 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±14}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta -4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Jaa -18 luvulla -6.

$$x=3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

Jaa 4 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

Jaa -15 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

Jaa -\frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{3}. Lisää sitten -\frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Lisää 5 lukuun \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Lisää \frac{2}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$