Ratkaise 4x+55x-9^2=99999x^2

$$4x+55x- { 9 }^{ 2 } =99999 { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{32396195}i+59}{199998}\approx 0,000295003-0,028459112i$$

$$x=\frac{59+\sqrt{32396195}i}{199998}\approx 0,000295003+0,028459112i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 59x yhdistämällä 4x ja 55x.

$$59x-9^{2}=99999x^{2}$$

Laske 9 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 81.

$$59x-81=99999x^{2}$$

Vähennä 99999x^{2} molemmilta puolilta.

$$59x-81-99999x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-99999x^{2}+59x-81=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -99999, b luvulla 59 ja c luvulla -81 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\left(-99999\right)\left(-81\right)}}{2\left(-99999\right)}$$

Korota 59 neliöön.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\left(-99999\right)\left(-81\right)}}{2\left(-99999\right)}$$

Kerro -4 ja -99999.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+399996\left(-81\right)}}{2\left(-99999\right)}$$

Kerro 399996 ja -81.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-32399676}}{2\left(-99999\right)}$$

Lisää 3481 lukuun -32399676.

$$x=\frac{-59±\sqrt{-32396195}}{2\left(-99999\right)}$$

Ota luvun -32396195 neliöjuuri.

$$x=\frac{-59±\sqrt{32396195}i}{2\left(-99999\right)}$$

Kerro 2 ja -99999.

$$x=\frac{-59±\sqrt{32396195}i}{-199998}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-59±\sqrt{32396195}i}{-199998}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -59 lukuun i\sqrt{32396195}.

$$x=\frac{-59+\sqrt{32396195}i}{-199998}$$

Jaa -59+i\sqrt{32396195} luvulla -199998.

$$x=\frac{-\sqrt{32396195}i+59}{199998}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-59±\sqrt{32396195}i}{-199998}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{32396195} luvusta -59.

$$x=\frac{-\sqrt{32396195}i-59}{-199998}$$

Jaa -59-i\sqrt{32396195} luvulla -199998.

$$x=\frac{59+\sqrt{32396195}i}{199998}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{32396195}i+59}{199998} x=\frac{59+\sqrt{32396195}i}{199998}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 59x yhdistämällä 4x ja 55x.

$$59x-9^{2}=99999x^{2}$$

Laske 9 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 81.

$$59x-81=99999x^{2}$$

Vähennä 99999x^{2} molemmilta puolilta.

$$59x-81-99999x^{2}=0$$

Lisää 81 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$59x-99999x^{2}=81$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-99999x^{2}+59x=81$$

Jaa molemmat puolet luvulla -99999.

$$\frac{-99999x^{2}+59x}{-99999}=\frac{81}{-99999}$$

Jakaminen luvulla -99999 kumoaa kertomisen luvulla -99999.

$$x^{2}+\frac{59}{-99999}x=\frac{81}{-99999}$$

Jaa 59 luvulla -99999.

$$x^{2}-\frac{59}{99999}x=\frac{81}{-99999}$$

Supista murtoluku \frac{81}{-99999} luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{59}{99999}x=-\frac{9}{11111}$$

Jaa -\frac{59}{99999} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{59}{199998}. Lisää sitten -\frac{59}{199998}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{59}{99999}x+\left(-\frac{59}{199998}\right)^{2}=-\frac{9}{11111}+\left(-\frac{59}{199998}\right)^{2}$$

Korota -\frac{59}{199998} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{59}{99999}x+\frac{3481}{39999200004}=-\frac{9}{11111}+\frac{3481}{39999200004}$$

Lisää -\frac{9}{11111} lukuun \frac{3481}{39999200004} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{59}{99999}x+\frac{3481}{39999200004}=-\frac{32396195}{39999200004}$$

Jaa x^{2}-\frac{59}{99999}x+\frac{3481}{39999200004} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{199998}\right)^{2}=-\frac{32396195}{39999200004}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{199998}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{32396195}{39999200004}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{59}{199998}=\frac{\sqrt{32396195}i}{199998} x-\frac{59}{199998}=-\frac{\sqrt{32396195}i}{199998}$$

Lisää \frac{59}{199998} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{59+\sqrt{32396195}i}{199998} x=\frac{-\sqrt{32396195}i+59}{199998}$$