Ratkaise 49x^2-70x+25=0

$$49 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{5}{7}\approx 0,714285714$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$49x^{2}-70x+25=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 49, b luvulla -70 ja c luvulla 25 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Korota -70 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Kerro -4 ja 49.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Kerro -196 ja 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4900}}{2\times 49}$$

Lisää 4900 lukuun -4900.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=-\frac{-70}{2\times 49}$$

Luvun -70 vastaluku on 70.

$$x=\frac{70}{2\times 49}$$

Kerro 2 ja 49.

$$x=\frac{70}{98}$$

Supista murtoluku \frac{70}{98} luvulla 14.

$$x=\frac{5}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}-70x+25=0$$

Vähennä 25 yhtälön molemmilta puolilta.

$$49x^{2}-70x+25-25=-25$$

Kun luku 25 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$49x^{2}-70x=-25$$

Jaa molemmat puolet luvulla 49.

$$\frac{49x^{2}-70x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Jakaminen luvulla 49 kumoaa kertomisen luvulla 49.

$$x^{2}+\left(-\frac{70}{49}\right)x=-\frac{25}{49}$$

Supista murtoluku \frac{-70}{49} luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x=-\frac{25}{49}$$

Jaa -\frac{10}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{7}. Lisää sitten -\frac{5}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{-25+25}{49}$$

Lisää -\frac{25}{49} lukuun \frac{25}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=0$$

Jaa x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{7}=0 x-\frac{5}{7}=0$$

Lisää \frac{5}{7} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{7} x=\frac{5}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$x=\frac{5}{7}$$