Ratkaise 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 49, b luvulla 30 ja c luvulla 25 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Korota 30 neliöön.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Kerro -4 ja 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Kerro -196 ja 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Lisää 900 lukuun -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Ota luvun -4000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Kerro 2 ja 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -30 lukuun 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Jaa -30+20i\sqrt{10} luvulla 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20i\sqrt{10} luvusta -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Jaa -30-20i\sqrt{10} luvulla 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Vähennä 25 yhtälön molemmilta puolilta.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Kun luku 25 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Jaa molemmat puolet luvulla 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Jakaminen luvulla 49 kumoaa kertomisen luvulla 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Jaa \frac{30}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{15}{49}. Lisää sitten \frac{15}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Korota \frac{15}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Lisää -\frac{25}{49} lukuun \frac{225}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Jaa x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Vähennä \frac{15}{49} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$